חורף 2025 (שאלון 472) – שאלה 1סדרות 571 · שיעור 30
חורף 2025, שאלה 1
שיעור 30: חורף 2025 (שאלון 472) – שאלה 1
פרק 7 – שאלות בגרות 472 – סדרות (תרגול ברמת 4 יחידות)
1נוסח השאלה
2סעיף א – שני הערכים של q
3סעיף ב – האיבר הראשון
4סעיף ג – סכום הסדרה B
5סעיף ד – ההפרש של הסדרה B
📄 נוסח השאלה
נתונה סדרה הנדסית A שהמנה שלה היא q, ובה 10 איברים. האיבר השישי בסדרה הוא פי 81 מן האיבר השני בסדרה.
א. מצאו את שני הערכים של q.
נתון כי סכום שני האיברים האמצעיים בסדרה A הוא 1,296, וכי כל איבריה הם חיוביים.
ב. מצאו את האיבר הראשון בסדרה.
נתונה סדרה חשבונית B. סכום הסדרה A גדול פי 11 מסכום הסדרה B.
📄 נוסח השאלה · המשך
ג. מצאו את סכום הסדרה B.
בסדרה B יש 32 איברים. נתון כי האיבר השני בסדרה B גדול פי 16 מן ההפרש שלה.
ד. מצאו את הפרש הסדרה B.
סעיף א – שני הערכים של q
נבטא את האיבר השני ואת האיבר השישי בעזרת a1 ו־q:
a2 = a1 · q2 − 1 = a1 · q
📐 איבר כללי בסדרה הנדסית
a6 = a1 · q6 − 1 = a1 · q5
📐 איבר כללי בסדרה הנדסית
האיבר השישי פי 81 מהאיבר השני:
a6 = 81 · a2
a1 · q5 = 81 · a1 · q
📐 איבר כללי בסדרה הנדסית
an = a1 · qn − 1
📐 איבר כללי בסדרה הנדסית
an = a1 · qn − 1
סעיף א – שני הערכים של q · המשך
a1 · q5 = 81 · a1 · q
מחלקים את שני האגפים ב־a1 · q (בסדרה הנדסית a1 ≠ 0 ו־q ≠ 0):
q5 − 1 = 81
📐 חילוק חזקות
q4 = 81
81 = 34 (3 · 3 · 3 · 3)
מעריך זוגי – יש שני פתרונות, חיובי ושלילי:
📐 חילוק חזקות
aman = am − n
סעיף א – שני הערכים של q · המשך
מעריך זוגי – יש שני פתרונות, חיובי ושלילי:
q = 3 או q = −3
📐 שורש זוגי
✅ פתרון סופי: q = 3 או q = −3
📐 שורש זוגי
q4 = b ⟸ q = ±4√b
סעיף ב – האיבר הראשון
כל האיברים חיוביים. אם q = −3 הסימנים היו מתחלפים (חיובי, שלילי, חיובי...), ולכן q = 3.
בסדרה יש 10 איברים, ולכן שני האיברים האמצעיים הם החמישי והשישי.
a5 = a1 · 34 = 81a1
📐 איבר כללי בסדרה הנדסית
a6 = a1 · 35 = 243a1
📐 איבר כללי בסדרה הנדסית
a5 + a6 = 1296
81a1 + 243a1 = 1296
📐 איבר כללי בסדרה הנדסית
an = a1 · qn − 1
📐 איבר כללי בסדרה הנדסית
an = a1 · qn − 1
סעיף ב – האיבר הראשון · המשך
81a1 + 243a1 = 1296
324a1 = 1296
a1 = 1296324 = 4
✅ פתרון סופי: a1 = 4
סעיף ג – סכום הסדרה B
קודם סכום הסדרה A: a1 = 4, q = 3, n = 10.
SA = 4 · (310 − 1)3 − 1
📐 סכום סדרה הנדסית
310 = 59049
SA = 4 · 590482 = 2 · 59048 = 118096
סכום A גדול פי 11 מסכום B:
SA = 11 · SB
📐 סכום סדרה הנדסית
Sn = a1(qn − 1)q − 1
סעיף ג – סכום הסדרה B · המשך
SA = 11 · SB
SB = 11809611 = 10736
✅ פתרון סופי: SB = 10736
סעיף ד – ההפרש של הסדרה B
בסדרה B יש 32 איברים, הפרש d, ואיבר ראשון b1. האיבר השני גדול פי 16 מההפרש:
b2 = 16d
b2 = b1 + (2 − 1)d = b1 + d
📐 איבר כללי בסדרה חשבונית
b1 + d = 16d
b1 = 16d − d = 15d
סכום 32 האיברים הוא 10736 (סעיף ג):
📐 איבר כללי בסדרה חשבונית
bn = b1 + (n − 1)d
סעיף ד – ההפרש של הסדרה B · המשך
סכום 32 האיברים הוא 10736 (סעיף ג):
S32 = 322 · [2 · 15d + (32 − 1)d]
📐 סכום סדרה חשבונית
S32 = 16 · [30d + 31d] = 16 · 61d = 976d
976d = 10736
d = 10736976 = 11
✅ פתרון סופי: d = 11
📐 סכום סדרה חשבונית
Sn = n2 · [2b1 + (n − 1)d]
📌 סיכום התשובות
סעיף א
q = 3 או q = −3
סעיף ב
a1 = 4
סעיף ג
SB = 10736
סעיף ד
d = 11
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא